선형모델과 행렬대수(Linear Models and Matrix Algebra)

 

선형모델과 행렬대수(Linear Models and Matrix Algebra)

 

 

 

 이 전과 같이 단일상품 혹은 2상품모형에서는 해를 구하기가 상대적으로 쉽지만 상품의 수가 많아지면 그만큼 식이 많아져 해를 구하기가 복잡하고 어렵다. 이 때 행렬을 사용하면 해를 구하는데 있어 간결하게 나타낼 수 있고 행렬식을 통해 해의 존재유무를 알 수 있다.  그러나 행렬대수는 선형방정식체계(Linear equation system)인 경우에만 적용가능하다.

 

 선형이라는 가정이 어느정도 현실성을 희생시키겠지만, 많은 경우 가정된 선형관계가 실제의 비선형관계에 충분히 근사적으로 나타낼 수 있으므로 선형방정식이 정당화된다. 비선형방정식을 선형방정식으로 변환하거나 선형으로 근사시킬 수 있다.

 

이는 두 변수 와 에 관한 비선형함수이다.

양변에 로그를 취함해 다음의 선형함수로 변환시킬 수 있다.

 

 

위 식은 두 변수  와 에 관한 선형함수이다.

 

 

 

1. 행렬과 벡터(Matrices and Vectors)

 

 

 

행렬(Matrix)의 정의

 

 

행렬이란 숫자,파라미터 또는 변수(일련의 개체들)를 직사각형으로 순서 있게 배열하여 대괄호(또는 괄호)로 묶은 것이다. 행렬을 구성하는 각 개체들(숫자, 파라미터, 변수 등)을 원소라고 부른다. 행렬에서 가로줄은 행, 세로줄은 열 이라고 한다.

 

 

배열로서의 행렬

 

 

일반적으로 n개의 변수로 이루어진 m개의 선형방정식으로 이루어진 체계는 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

이 방정식체계에서는 본질적으로 세 가지 타입의 구성요소가 있다.

1. 계수 의 집합
2. 변수 의 집합
3. 상수 의 집합

이 세 집합을 세 개의 직사각형으로 배열하고 각각을 라고 하면 다음을 얻는다.

 

 

 

예)

 

다음과 같은 선형방정식체계가 주어져 있다.

 

 

이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

행렬 의 배열은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

이 행렬의 각 원소의 위치가 하첨자에 의해 명백히 결정되기에 모든 행렬은 하나의 순서집합이다.

 

 

 

특수한 행렬로서의 벡터

 

 

 

행렬의 차원은 그 행렬의 행과 열의 수로 정의된다.

 

 

위 행렬은 m개의 행과 n 개의 열로 구성되어있으며, 차원이라 한다. 차원은 항상 행의 개수를 먼저, 열의 개수를 뒤에 쓴다.

 

 

위와 같이 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정방행렬(square matrix)이라고 한다.

 

행 하나로 이루어진 행렬을 행벡터(row vector)라고 한다.

 

열 하나로 이루어진 행렬을 열벡터(column vector)라고 한다.

 

 

 

' <- 이 기호(primed symbol)는 행렬의 행과 열을 바꾸는 기호이다.

 

예)

 

 

 

 

[참고문헌] FUNDAMENTAL MENTHODS OF MATHEMATICAL ECONOMICS

                                      - ALPHA C, CHIANG/ KEVIN WAINWRIGHT