행렬의 연산(Matrix Operations)

 

 

2. 행렬의 연산(Matrix Operations)

 

 

연산을 배우기에 앞서 항등관계(=상등관계 : equality)를 규정해보자.

두 행렬와 가 항등관계라고 한다면(같은 행렬이라고 한다면) 차원이 같고, 대응 하는(배열에서 같은 위치에 있는) 원소들이 같아야 한다.

예를 보자.

 

 

 

행렬의 덧셈과 뺄셈

 

 

행렬을 덧셈 또는 뺄셈하기 위해서는 먼저 연산 하고자 하는 행렬끼리의 차원이 같아야한다. 각 대응하는(배열에서 같은 위치에 있는) 원소끼리의 합 또는 차로 행렬의 덧셈 또는 뺄셈을 할 수 있다.

 

 

 

 

 

스칼라 곱셈

 

 

행렬에 어떤 수(행렬대수 용어로 스칼라)를 곱하는 것으로 주어진 스칼라를 해당 행렬의 모든 원소에 곱하는 것이다.

 

 

행렬의 곱셈

 

 

스칼라 곱셈은 어떤차원의 행렬이든 가능하다. 그러나 행렬끼리의 곱셈에서는 적합성조건(conformability condition)이 충족되어야 한다. 이는 곱하는 두 행렬 중 앞 행렬의 열과 뒷 행렬의 행의 갯수가 같아야 한다. 여기서 행렬의 곱셈에서 두 행렬의 순서 또한 중요한 것을 알 수 있다.

 행렬의 곱이 정의되고 그 결과 만들어지는 행렬의 차원은 (앞 행렬의 행의 개수 x 뒷 행렬의 열의 개수)가 된다.

 

 

 

앞 행렬(2x3) 의 열의 개수(3)와 뒷 행렬(3x3)의 행의 개수(3)가 같기에 곱셈이 가능하다. 순서를 바꿔 보겠다.

 

 

 이 경우 앞 행렬(3x3)의 열의 개수(3)와 뒷 행렬(2x3)의 행의 개수(2)가 다르기에 적합성조건을 충족하지 못하기에 곱셈이 불가능하다.

 

 

 

 

위의 두 행렬을   순서로 곱하기에 적합성 조건을 충족한다. 이 결과 만들어지 행렬은 다음과 같다고 하자.

 

 

이 때 행렬 C의 각 원소들의 값은 다음과 같다.

 

 

이런 식으로 행렬끼리의 곱셈에서 각 원소들을 구할 수 있다. 만약 이를 처음 접한다면 많이 어려울 수 있으니 예제를 풀어 익숙해지자.

 

예1)

 

 

sol)

 

 

예2)

(1) Ax=?

(2) Ax=d 로 표현하라.

 

sol)

 

(1)

 

 

(2)

 

 

균형분석 글에서 케이지안의 국민소득모형에대해 공부를 했었다. 이를 행렬의 곱셈으로 표현해보자.

 

예3)

 

내생변수 로 구성되는 단순국민소득모형

 

(1) 계수행렬 A, 변수의 벡터 x, 상수의 벡터 d를 구하고 이를 Ax=d로 표현하라.

 

sol)

 

 

로 식을 변경,

 

 

 

 

 

행렬의 나눗셈

 

여태까지 살펴본 것처럼 행렬은 일반적인 수와 마찬가지로 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 가능했다. 그러나 행렬에선 어느 한 행렬이 다른 행렬은 나누는 연산은 없다. 대신 어떤 수에 곱했을 때 1로 보내는 역수처럼 특정 조건에서 어떤 행렬에 곱했을 때 항등행렬(대수에서 1과 비슷한 존재, 다음에 공부할 것임)로 보내는 역행렬이란게 존재한다. 이는 다음에 공부해보도록 하겠다.

 

 

시그마 보론

 

 

시그마란 합을 의미하는 기호이다. j가 1(기호아래)에서 3(기호 위)까지 변화할 때 의 값을 다 더한다는 것이다. j는 오직 정수만을 취한다. 즉 시그마 기호 위 아래로 정수만 들어온다.

 

예)

 

 

 

 

 

벡터끼리의 곱셈

 

벡터는 행렬의 특수한 형태이다.

 

예1)

 

 

 

예2)

 

 

 

행렬의 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

 

 

스칼래 대수에서의 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙은 다음과 같다.

 

• 덧셈의 교환법칙 :
• 덧셈의 결합법칙 :
• 곱셈의 교환법칙 :
• 곱셈의 결합법칙 :
• 분배법칙 :

 

 행렬에서 살펴보자.

 

 

(1) 행렬의 덧셈

 

• 교환법칙 :  
• 결합법칙 :

 

 

(2) 행렬의 곱셈

 

• 교환법칙 : . 일반적으로 행렬의 곱셈의 교환법칙은 성립하지 않는다. 하지만 특정한 상황에서는 성립 할 수 있음. 이는 다음에 공부해겠다.

 

• 결합법칙 : 곱셈이 정의된다면 즉, 인접한 행렬끼리 적합성조건을 충족한다면

 

• 분배법칙 :

 

[참고문헌] FUNDAMENTAL MENTHODS OF MATHEMATICAL ECONOMICS

                                      - ALPHA C, CHIANG/ KEVIN WAINWRIGHT