역행렬(Inverse Matrix)과 그 성질

 

역행렬과 그 성질

 

 

역행렬(Inverse Matrix)

 

 

 항등행렬이 스칼라 대수에서 1과 비슷한 역할을 하듯, 역행렬은 스칼라 대수에서 역수와 비슷한 역할을 한다. 어떤 행렬 A가 주어졌을 때 그 전치행렬 A'는 항상 존재한다. 그러나 A의 역행렬은 존재할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 만약 역행렬이 존재한다면 A가 정방행렬이어야 하고 로 표기하며 다음 조건을 만족한다.

 

 

 글로 풀어 해석하자면, 주어진 행렬 A에 그 역행렬을 앞에서 곱하든 뒤에서 곱하든 그 결과값은 항상 항등행렬이고, 이는 행렬 대수에서 '곱셈의 교환법칙이 성립되지 않는다'는 일반법칙의 예외이다.

 

 

역행렬의 중요 성질

 

 

1. 모든 정방행렬이 역행렬을 가지지는 않는다.

 

2. 가 존재한다면, 의 역행렬은 이다.    

 

3.  와 의 차원은 같다.

 

4. 만약 역행렬이 존재한다면 그것은 유일하다.

 

 

pf)

 

만약 A의 역행열로 B와 C가 있다고 해보자.

 

 

그리고 식의 양변에 C를 앞곱해보자.

 

어떤 행렬 A가 역행렬로 B와 C를 가진다면 두 역행렬은 같은 것이다.

 

 

5. 곱의 역행렬은 순서를 바꾼 역행렬의 곱과 같다.

 

 

pf)

 

행렬의 곱 AB의 역행렬을 C라고 하자.

양변에

를 뒷곱해보자.

 

 

여기서 하나 더 알 수 있는 것은 두 행렬의 곱이 역행렬을 가지면 각각의 행렬 또한 역행렬을 가진다는 것이다.

 

 

6. 전치행렬의 역행렬은 역행렬의 전치행렬과 같다.

 

 

pf)

 

전치 행렬 의 역행렬을 라고 하자.

그리고 전치행렬에서 공부했듯이 다음과 같이 표현할 수 있다.

양변에 를 뒷곱해보자.

즉 전치행렬의 역행렬 D,는 역행렬의 전치행렬과 같다.

 

 

 역행렬과 선형방정식체계의 풀이

 

 

 우린 앞에서 선형방정식체계에 대해 배웠고, 변수가 많아지고 방정식이 복잡해질 때 행렬을 이용하면 더 간결하게 나타내고 쉽게 풀 수 있다고 했다. 선형방정식체계를 행렬로 이용하여 해를 구할 때 역행렬을 사용해야한다.

 

여기서 A는 계수의 행렬, x는 변수벡터, d는 상수벡터이다.

그리고 A가 역행렬을 갖는다고 하고 양변에 앞곱해보자.

이런식으로 x를 구할 수 있다. 즉 연립선형방정식체계에서 행렬을 이용하여 해를 구할 수 있다.

 

 

예)

 

 

 

 

[참고문헌] FUNDAMENTAL MENTHODS OF MATHEMATICAL ECONOMICS

                                      - ALPHA C, CHIANG/ KEVIN WAINWRIGHT