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경제수학

역행렬(Inverse Matrix)과 그 성질

역행렬과 그 성질 역행렬(Inverse Matrix) 항등행렬이 스칼라 대수에서 1과 비슷한 역할을 하듯, 역행렬은 스칼라 대수에서 역수와 비슷한 역할을 한다. 어떤 행렬 A가 주어졌을 때 그 전치행렬 A'는 항상 존재한다. 그러나 A의 역행렬은 존재할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 만약 역행렬이 존재한다면 A가 정방행렬이어야 하고 로 표기하며 다음 조건을 만족한다. 글로 풀어 해석하자면, 주어진 행렬 A에 그 역행렬을 앞에서 곱하든 뒤에서 곱하든 그 결과값은 항상 항등행렬이고, 이는 행렬 대수에서 '곱셈의 교환법칙이 성립되지 않는다'는 일반법칙의 예외이다. 역행렬의 중요 성질 1. 모든 정방행렬이 역행렬을 가지지는 않는다. 2. 가 존재한다면, 의 역행렬은 이다. 3. 와 의 차원은 같다. 4. ..

2020. 8. 3. 17:55
경제수학

전치행렬(Transpose Matrix)과 행렬 대수의 특이점(Idiosyncrasies of Matrix Algebra)

전치행렬(Transpose Matrix) 어떤 행렬 A의 행과 열이 바뀐 행렬을 전치행렬(Transpose Matrix)이라고 한다. 이는 로 표현한다. 또한 대신 로 쉽게 표현하기도 한다. 전치를 하면 차원이 바뀌기도 한다. 예) 여기서 행렬 B와 C를 보면 정방행렬이기에 전치를 해도 행렬의 차원이 바뀌지 않는다. C는 차원뿐만 아니라 원소들의 배열 또한 바뀌지 않았다. 이 행렬 C 처럼 전치를 해도 그대로인 행렬을 대칭행렬(Symmetric Martix)이라고 부른다. 대칭행렬은 대각을 기준으로 오른쪽 위와 왼쪽 아래가 정확히 대칭을 이룬다. 대표적인 대칭행렬로 항등행렬이 있다. 전치행렬의 성질 전치행렬은 다음과 같은 성질을 가지고 있다. 예) 행렬 대수의 특이점(Idiosyncrasies of Ma..

2020. 8. 1. 14:37
경제수학

항등행렬(Identity Matrix)과 영행렬(Zero Matrix)

항등행렬(Identity Matrix)과 영행렬(Zero Matrix) 항등행렬 정방행렬(square matrix)에서 대각원소란 해당하는 행과 열이 같은 원소를 말한다.(ex : ) 항등행렬(Identity Matrices)이란 모든 대각원소들이 1 이며 나머지 원소들이 0인 정방행렬을 말한다. 항등행렬의 행이나 열의 차원()에 따라 으로 표현한다. 모두 그저 로도 표현할 수 있다. 이 항등행렬은 스칼라 대수에서 1과 같은 역할을 한다. 스칼라 대수 : 행렬 대수 : 예) 순서에 따라 행렬의 곱이 정의돼야 하기에 항등행렬의 차원이 바뀔 수 있지만 결과는 같다. 만약 곱해지는 행렬 A가 정방행렬이라면 항등행렬이 앞에서 곱하든 뒤에서 곱하든 항등행렬의 차원은 같을 것이다. 항등행렬은 어떤 행렬에 곱하든지 ..

2020. 8. 1. 14:27
경제수학

행렬의 연산(Matrix Operations)

2. 행렬의 연산(Matrix Operations) 연산을 배우기에 앞서 항등관계(=상등관계 : equality)를 규정해보자. 두 행렬와 가 항등관계라고 한다면(같은 행렬이라고 한다면) 차원이 같고, 대응 하는(배열에서 같은 위치에 있는) 원소들이 같아야 한다. 예를 보자. 행렬의 덧셈과 뺄셈 행렬을 덧셈 또는 뺄셈하기 위해서는 먼저 연산 하고자 하는 행렬끼리의 차원이 같아야한다. 각 대응하는(배열에서 같은 위치에 있는) 원소끼리의 합 또는 차로 행렬의 덧셈 또는 뺄셈을 할 수 있다. 스칼라 곱셈 행렬에 어떤 수(행렬대수 용어로 스칼라)를 곱하는 것으로 주어진 스칼라를 해당 행렬의 모든 원소에 곱하는 것이다. 행렬의 곱셈 스칼라 곱셈은 어떤차원의 행렬이든 가능하다. 그러나 행렬끼리의 곱셈에서는 적합성조..

2020. 7. 14. 07:00
경제수학

선형모델과 행렬대수(Linear Models and Matrix Algebra)

선형모델과 행렬대수(Linear Models and Matrix Algebra) 이 전과 같이 단일상품 혹은 2상품모형에서는 해를 구하기가 상대적으로 쉽지만 상품의 수가 많아지면 그만큼 식이 많아져 해를 구하기가 복잡하고 어렵다. 이 때 행렬을 사용하면 해를 구하는데 있어 간결하게 나타낼 수 있고 행렬식을 통해 해의 존재유무를 알 수 있다. 그러나 행렬대수는 선형방정식체계(Linear equation system)인 경우에만 적용가능하다. 선형이라는 가정이 어느정도 현실성을 희생시키겠지만, 많은 경우 가정된 선형관계가 실제의 비선형관계에 충분히 근사적으로 나타낼 수 있으므로 선형방정식이 정당화된다. 비선형방정식을 선형방정식으로 변환하거나 선형으로 근사시킬 수 있다. 이는 두 변수 와 에 관한 비선형함수이..

2020. 7. 13. 04:42
경제수학

경제학에서의 균형분석(Equilibrium Analysis in Economics)(2)

경제학에서의 균형분석(Equilibrium Analysis in Economics)(2) 일반시장균형(genoral market equilibrium) 이 전 글에서는 하나의 상품만을 고려한 시장모형에 대해 공부했습니다. 하지만 현실적으로는 어떤 상품에 대해서 많은 대체재와 보완재를 가지기에 이러한 고립된 시장(isolated market)은 존재하기 힘들죠. 그렇기에 한 상품에 대한 수요함수를 나타내기 위해서 그 상품의 가격효과뿐만 아니라 관련된 상품들의 가격효과도 고려를 해야합니다. 예를 들어 에너지드링크의 가격이 많이 싸지면 사람들이 에너지드링크를 전보다 더 수요하기에 커피의 수요량이 떨어지겠죠. 공급함수도 같은 논리가 적용됩니다. 위와 같은 이유로 한 쌍의 가격변수와 수량변수가 아닌 다수의 가격변..

2020. 7. 12. 11:15